Таърифи интегратсия
Интегратсия як амали риёзие мебошад, ки дар математика истифода мешавад ва он раванди баръакси фарқият аст. Интегратсия барои дарёфти миқдори зиёди фоиданок, аз қабили майдонҳо, ҳаҷмҳо, ҷойивазкунӣ ва ғайра истифода мешавад. Интеграл бо аломати ∫, ки тақсимнашаванда аст, ифода карда мешавад. Интегратсия тавассути ивазкунӣ як раванди муфид барои иваз кардани шакли пайвандак ба шакли шинос буда, пайдо кардани онро осон мекунад. Интегратсия умумияти миқдорҳои тақсимшаванда, мафҳуми риёзӣ мебошад, ки ба мо имкон медиҳад майдон, ҳаҷм, масса ё ягон маҷмӯи унсурҳои беохирро пайдо кунем.
Намудҳои интегратсия кадомҳоянд?
Дар математика намудҳои гуногуни интегратсия мавҷуданд. Ин намудҳо ҳамгироии номаҳдуд ва ҳамгироии маҳдудро дар бар мегиранд. Интеграли беохир қисми тақсимнашавандаи функсия аст, вақте ки барои интеграл маҳдудияти мушаххас вуҷуд надорад, яъне маънои онро дорад, ки онро барои ҳар як арзиши тағирёбандаи мустақил ҳисоб кардан мумкин аст. Дар мавриди интегратсияи маҳдуд, ин равандест, ки майдони зери каҷи муайян ва болои меҳвари x-ро дар диапазони мушаххас ҳисоб мекунад. Ин намудҳои гуногуни ҳамгироӣ дар соҳаҳои гуногун, аз қабили математика, физика, иқтисод, муҳандисӣ ва ғайра истифода мешаванд, ки мутахассисон онҳоро барои ҳалли мушкилот, таҳлили додаҳо ва татбиқи моделҳои мураккаб истифода мебаранд.
Хусусиятҳои интегратсия кадомҳоянд?
Хусусиятҳои интегратсия қонунҳо ва мафҳумҳое мебошанд, ки ба раванди интегратсия дар математика татбиқ мешаванд. Хусусиятҳои интегратсионӣ ба содда кардани амалҳои математикӣ кӯмак мерасонанд ва роҳҳои ба осонӣ ҳисоб кардани арзишҳои заруриро пешниҳод мекунанд. Якчанд хусусиятҳои муҳими ҳамгироӣ мавҷуданд, аз ҷумла:
- Амволи фармоиш: Ин маънои онро дорад, ки ҳудуди ҳамгироиро метавон фармоиш дод ва ҳудуди ҳамгироиро, ки арзиши якхела доранд, фармоиш додан мумкин аст. Ба ибораи дигар, шартҳои интегратсияро дар муодила бидуни тағир додани натиҷа бо дигар шартҳои ҳамон арзиш иваз кардан мумкин аст.
- Хусусияти ҷамъ ва фарқият: Раванди интегратсияро метавон ба ҷамъ ё фарқияти якчанд функсия табдил дод. Бо ин роҳ, амалиётҳоро содда кардан мумкин аст ва ҳисоб кардани арзишҳои зарурӣ осонтар аст.
- Хусусияти баръакс: Агар ҳосили интеграл байни ду фосилаи муайяншуда ба манфии ҳосили байни ду фосилаи баръакс баробар бошад, ин хосиятро барои содда кардани амалиёт истифода бурдан мумкин аст.
- Хосияти якхелаи интегратсия: нишон медиҳад, ки омилҳои умумӣ дар функсияҳо метавонанд барои содда кардани раванди интегратсия ва осон кардани ҳисоб кардани натиҷа интихоб карда шаванд.
Асосҳои интегратсия кадомҳоянд?
Қоидаҳои асосии интегратсия қисми муҳими математика буда, воситаҳои асосии омӯзиши интегратсияро ифода мекунанд. Он барои фаҳмидани бисёр мафҳумҳо ва барномаҳо дар ин илми математика кӯмак мекунад. Ин қоидаҳо ба ҳамгироӣ ва салоҳиятҳо, тафриқаи вазифаҳо ва қонунҳои дифференсиатсия ва ҳамгироӣ марбутанд.
Яке аз асосҳои интегратсия ин аст, ки он раванди баръакси дифференсиатсия мебошад. Дар ҳоле ки дифференсиатсия бо донистани суръати тағирёбии функсия нисбат ба тағирёбандааш алоқаманд аст, интегратсия ба ҳисоб кардани майдони зери каҷи функсия байни координатҳои он тамаркуз мекунад. Ба ҳамин монанд, ҳисобҳои асосӣ тадқиқотест, ки ба консепсияи маҳдудиятҳо ва функсияҳо асос ёфтааст.
Илова бар ин, қоидаҳои асосии интегратсия ба мафҳумҳои дигар, ба монанди давомнокӣ ва экспонентҳо дохил мешаванд. Тавассути пайвастагӣ ва нишондиҳандаҳо, хонандагон метавонанд муносибатҳои гуногуни байни функсияҳо ва қонунҳои интегратсияро, аз ҷумла қоидаи интегратсияи қувваҳо ва қоидаи симметрияро барои функсияҳои баръакс дарк кунанд.
Дар маҷмӯъ метавон гуфт, ки омӯзиши қоидаҳои асосии интегратсия ба амиқи риёзӣ мусоидат мекунад ва имкон медиҳад, ки интегратсия дар соҳаҳои гуногун, аз қабили муҳандисӣ, физика ва информатика истифода шавад. Аз ин рӯ, азхуд кардани ин асосҳо барои ҳар касе, ки ба илмҳои риёзӣ таваҷҷӯҳ дорад, муҳим аст.
Майдон бо роҳи интегратсия чӣ гуна ҳисоб карда мешавад?
Майдонро бо роҳи интегратсия дар математика ҳисоб кардан мумкин аст. Интегратсия ҳамчун умумисозии тақсимоти миқдорҳои дискретӣ ба монанди майдон, ҳаҷм, масса ва ҳама гуна маблағи элементҳои хурд муайян карда мешавад. Интегратсия ҳамчун воситаи ҳисоб кардани майдони бо каҷ маҳдудшуда баррасӣ карда мешавад. Дар ин замина, ҳамгироӣ барои дарёфти майдони минтақа дар байни ду ё зиёда хатҳо истифода мешавад. Каҷҳои функсияро таъмин намуда, нуқтаҳои буриши байни онҳоро ёфтан лозим аст. Ҳисоб кардани майдонҳо аз рӯи интегратсия ҳамчун интеграли каҷи болоӣ дар меҳвари уфуқӣ аз он тарҳ карда мешавад. Интегратсия инчунин метавонад барои ҳисоб кардани майдонҳо дар ҳисоб тавассути иваз кардани арзишҳо ба интеграл барои ёфтани нуқтаҳои буриши байни каҷҳо истифода шавад.
Оё фазо метавонад манфӣ бошад?
Бисёриҳо фикр мекунанд, ки оё фазо манфӣ буда метавонад. Гарчанде ки мо медонем, ки майдон як миқдори мусбатест, ки фазои ишғолкардаи объектро ифода мекунад, ҳолатҳое ҳастанд, ки арзиши мутлақи майдон дар баъзе ҳолатҳои интегратсияи муайян ҳамчун арзиши манфӣ пайдо мешавад.
Ҳангоми ҳисоб кардани интеграли муайяни каҷ диққат ба майдони байни каҷ ва меҳвари x дода мешавад. Дар баъзе мавридҳо, ин минтақа метавонад дар зери меҳвари x бошад, яъне арзиши мутлақи минтақа манфӣ хоҳад буд.
Аз ин рӯ, аломати манфӣ пеш аз интегратсия гузошта мешавад, то таъкид кунад, ки минтақа манфӣ буда наметавонад. Ҳангоми ҳисоб кардани интеграли муайян барои ин ҳолатҳо, арзишҳои мутлақи минтақа барои пешгирӣ кардани ба даст овардани арзиши манфӣ бо сарфи назар кардани аломати манфӣ истифода мешаванд.
Мо инчунин бояд қайд кунем, ки интегратсия як роҳи ҳисоб кардани майдон аст ва вақте ки он дар формулаҳои математикӣ майдони камтар аз сифрро нишон медиҳад, ин ба он маъно шарҳ дода мешавад, ки майдонҳои ҳисобшуда дар зери меҳвари x ҷойгиранд ва аз ин рӯ дар зери сифр дар арзиши мутлақ.
Дар охир, мо метавонем бигӯем, ки арзиши мутлақи майдон манфӣ нест, аммо арзиши воқеии интеграли муайян метавонад манфӣ бошад, агар майдони зери меҳвари x мавҷуд бошад. Ин арзиш ҳадафи ҳисоб кардани майдонро бидуни манфӣ будани худи минтақа қонеъ мекунад.
